Jak víte, že existuje trojúhelník?

V tomto školním roce jsme se v hodinách matematiky učili o geometrických tvarech. A rozhodl jsem se vytvořit projekt na toto téma, abych se dozvěděl více informací o nejjednodušší, ale velmi důležité postavě v matematice – trojúhelníku. Ptáte se: „Proč zrovna „Trojúhelníky kolem nás“? Protože mnoho z toho, co vidíme a potkáváme v každodenním životě, má často tvar trojúhelníku a tak či onak souvisí s geometrií. Jejímu pozornému pohledu nic neunikne!

Problematické problémy:

1. Kde a kdy se objevil trojúhelník?
2. Kdo to vymyslel?
3. Jaké tvary lze vytvořit z trojúhelníků?
4. Kde najdete trojúhelníky v každodenním životě?

Relevantnost: Mnoho lidí ví o existenci trojúhelníkové postavy, ale málo ví o historii jejího původu. To bude zajímat studenty i mě.

Hypotéza: Myslím, že trojúhelník byl vynalezen ve starověkém Egyptě.

Účel: Prostudujte si historii vzhledu trojúhelníku.

Úkoly:

• Zjistěte, kdy, kde a kým byla tato postava objevena.
• Zjistěte, jaké tvary lze vytvořit z trojúhelníků.
• Zjistěte, kde se v životě vyskytovaly a vyskytují trojúhelníky.
• Proveďte průzkum.
• Dojít k závěru.

Pracovní plán:

1. Prostudujte si internetové materiály o historii vzhledu trojúhelníku.

2. Promluvte si s učitelem o vědci, který vytvořil tuto postavu.

3. Proveďte průzkum mezi studenty v mé třídě.

4. Rozhovor s dospělými.

5. Analyzujte výsledky a vyvodte závěry.

Metody výzkumu:

• Studium literatury a internetových zdrojů.
• Testování studentů.
• Konverzace
• Zobecnění a analýza.

Svět, ve kterém žijeme, je plný geometrie domů a ulic, hor a polí, výtvorů přírody a člověka.

Projekt je zaměřen na zobecnění a systematizaci znalostí na téma „Trojúhelník“. Trojúhelník je právem považován za nejjednodušší z obrazců: každý plochý, tedy dvourozměrný obrazec, musí obsahovat alespoň tři body, které neleží na stejné přímce. Trojúhelník byl vždy široce používán v praktickém životě.

KAPITOLA 1. TEORETICKÉ ASPEKTY KONCEPCE A HISTORIE TROJÚHELNÍKŮ

1.1. Historie trojúhelníků

Významný starověký řecký historik Hérodotos (5. století př. n. l.) zanechal popis toho, jak Egypťané po každé povodni Nilu znovu označovali úrodné oblasti jeho břehů, z nichž odtékala voda. Od této chvíle začala geometrie – “zeměměřictví” (z řeckého “geo” – “země” a “metro” – měřím).

Starověcí zeměměřiči prováděli geometrické stavby, měřili délky a plochy; astrologie vypočítala polohu nebeských těles – to vše vyžadovalo velmi rozsáhlé znalosti o vlastnostech plochých a prostorových obrazců a především o trojúhelníku (obrázek 1.1).

Obrázky trojúhelníků a problémů na trojúhelnících se nacházejí v egyptských papyrech, které jsou staré více než 4000 let, ve starověkých indických knihách a dalších starověkých dokumentech. Již tehdy byla známá věta, která později vešla ve známost jako Pythagorova věta, která se používala ke konstrukci pravých úhlů na zemi pomocí provazového trojúhelníku o stranách 3, 4, 5 (egyptský trojúhelník).

Po 2000 letech ve starověkém Řecku dosahuje doktrína trojúhelníku vysoké úrovně. Známí jsou starověcí řečtí vědci jako Archimedes, Pythagoras, Thales.

Nauka o trojúhelníku se rozvinula v iónské škole, založené v 365. století př. n. l. Thalesem, poté v Pythagorově škole. Staří Řekové se rozhodli uspořádat nashromážděné informace o trojúhelníku a napsali mnoho děl. Nejdokonalejší bylo dílo Euklida „Elements“ (300-XNUMX př.nl).

Koncept trojúhelníku se historicky vyvíjel zřejmě následovně: nejprve byly uvažovány pouze pravidelné trojúhelníky, pak rovnoramenné a nakonec zmenšeniny.

Po několik tisíciletí geometrové studovali trojúhelník tak podrobně, že někdy mluví o „geometrii trojúhelníku“ jako o nezávislé sekci elementární geometrie.

1.2. Pojem a typy trojúhelníků

Zjistili jsme historii výskytu trojúhelníků, pojďme analyzovat definice slova „trojúhelník“ (tabulka 1.1)

Tabulka 1.1. Definice slova „trojúhelník“ v ruských slovnících

Slovo význam

příklad

Vysvětlující slovník Ozhegova S.I.

Geometrický obrazec je mnohoúhelník se třemi úhly, stejně jako jakýkoli předmět nebo zařízení tohoto tvaru.

Pravoúhlý trojúhelník, dřevěný trojúhelník, trojúhelník vojáka

Jméno insignie seržanta a poddůstojníka této formy na knoflíkových dírkách v Rudé armádě (od roku 1919 do roku 1943)

V sovětské instituci, v podniku: tři společně jednající vedoucí osoby – správce, tajemník stranické organizace a předseda odborového výboru

Vysvětlující slovník Ushakov

Geometrický obrazec ohraničený třemi vzájemně se protínajícími čarami svírajícími tři vnitřní úhly (mat.).
Jakýkoli předmět nebo zařízení, které má tvar takové postavy.

V instituci, podniku nebo jejich odděleních – společný název pro tři vedoucí osoby: vedoucího správní linie a vedoucí stranické a odborové práce.

Slovník Efremové T.F.

Geometrický obrazec na rovině ohraničený třemi protínajícími se čarami tvořícími tři vnitřní úhly.

Tři lidé (dva muži a jedna žena nebo dvě ženy a jeden muž) propojeni v milostném vztahu.

Jaké typy trojúhelníků existují a jak jsou klasifikovány?

Podle velikosti úhlů se rozlišují následující typy trojúhelníků (tab. 1.2).

Jméno

Definice

obrázek

Trojúhelník, ve kterém jsou všechny úhly ostré.

Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů pravý.

Trojúhelník, ve kterém je jeden z úhlů tupý.

Podle poměru délek stran se rozlišují následující typy trojúhelníků (tab. 1.3).

Jméno

Definice

obrázek

Trojúhelník, jehož všechny strany mají různé délky.

Trojúhelník, jehož dvě strany jsou si navzájem rovny. Strana, která není rovna ostatním dvěma, se nazývá její základna.

Trojúhelník, ve kterém jsou všechny tři strany stejné.

KAPITOLA 2. PRAKTICKÉ ASPEKTY POUŽÍVÁNÍ TROJÚHELNÍKŮ V KAŽDODENNÍM ŽIVOTĚ

2.1. Trojúhelníky v každodenním životě

Rozhodl jsem se zvážit všechny aspekty použití trojúhelníků v našem životě. Otevřete oči do našeho krásného světa.

TROJÚHELNÍK V MALOVÁNÍ

Dílo Vasilije Vasiljeviče Kandinského je jedinečným fenoménem ruského a evropského umění. Právě tomuto umělci, obdařenému brilantním intelektem a jemnou duchovní intuicí, bylo souzeno provést skutečnou revoluci v malbě a vytvořit první abstraktní kompozice.

Podle Kandinského jsou nositeli duchovního principu linie a barevná skvrna, nikoli děj; jejich kombinace dává vzniknout „vnitřnímu zvuku“, který vyvolává odezvu v duši diváka. Spolu s trojúhelníky a čtverci obsahovaly kompozice kruh jako symbol dokonalosti a úplnosti vesmíru. (Obrázek 2.1)

Aby divákům pomohl lépe porozumět jeho obrazům, napsal knihu „Line and Point on a Plane“.

Ve „Vibraci“ vidíme přesně tento „kontakt mezi ostrým trojúhelníkem a kruhem“, který umělec nazývá „novým Adamem“, natahujícím se k Bohu jako Michelangelo.

Na obrazech „Body na oblouku“ a „Tři trojúhelníky“ můžete vidět, jak se trojúhelníky používají v malbě. (Obrázek 2.2)

Obrázek 2.2. “Body na oblouku”, 1927. “Tři trojúhelníky”, 1938.

Portrét Mony Lisy je atraktivní, protože kompozice kresby je postavena na „zlatých trojúhelnících“ (přesněji na trojúhelnících, které jsou kusy pravidelného hvězdicového pětiúhelníku) (obrázek 2.3).

Obrázek 2.3. Leonardo da Vinci – Mona Lisa

TROJÚHELNÍK V HUDBĚ

Trojúhelník. Tento geometrický termín označuje hudební nástroj, který je součástí skupiny bicích nástrojů a je poměrně často používán v symfonické a operní hudbě. Tvar nástroje je rovnostranný trojúhelník. Je vyrobena z ocelové tyče. Trojúhelník je zavěšen na dálkovém ovladači a lehce udeřen kovovou tyčí. Zvuk je vysoký (nejisté výšky), znělý a jemný, při silném úderu je pronikavý, připomíná zvony. V Griegově hudbě k Ibsenovu dramatu Peer Gynt je trojúhelník uveden do tance Anitry. Jeho zvonivý trylek zdůrazňuje půvabnou, rozmarnou povahu tance. A ve skladbách „Šeherezáda“ a „Capriccio Espagnol“ od Rimského-Korsakova dodává rytmické cinkání trianglu hudbě ještě větší lesk, živost a nadšení. (Obrázek 2.4).

TROJÚHELNÍK V PŘÍRODĚ

Bermudský trojúhelník je známá anomální zóna. Nachází se mezi Bermudami, Miami na Floridě a Portorikem. Rozloha Bermudského trojúhelníku je více než jeden milion čtverečních kilometrů. Topografie dna v této vodní oblasti byla dobře prostudována. Na šelfu, který tvoří významnou část tohoto mořského dna, bylo provedeno mnoho vrtů za účelem nalezení ropy a dalších nerostů. Proud, teplota vody v různých ročních obdobích, její slanost a pohyb vzduchových hmot nad oceánem – všechny tyto přírodní údaje obsahují všechny speciální katalogy. Tato oblast se nijak zvlášť neliší od jiných podobných geografických lokalit. A přesto právě v oblasti Bermudského trojúhelníku záhadně zmizely lodě a poté i letadla. (Obrázek 2.5).

Kudlanka obecná je hmyz patřící do čeledi pravých kudlanek. Jedná se o nejběžnějšího zástupce druhu v Evropě. Jedná se o poměrně velký hmyz. Hlava kudlanky je trojúhelníková, velmi pohyblivá, spojená s hrudníkem. Může se otáčet o 180 stupňů. Tento hmyz má dobře vyvinuté přední nohy, které mají silné a ostré trny. S jejich pomocí svou oběť popadne a následně sežere. (Obrázek 2.6).

TROJÚHELNÍK V ASTRONOMII

Trojúhelník (lat. Triangulum, Tri) je souhvězdí severní polokoule oblohy. Na obloze zaujímá plochu 131,8 čtverečních stupňů a obsahuje 25 hvězd viditelných pouhým okem. (Obrázek 2.7)

TROJÚHELNÍK V ARCHITEKTUŘE

Egyptské pyramidy mají také tvar trojúhelníku. Pyramida má v půdorysu čtverec a ve svislém řezu trojúhelník, přičemž čtverec odpovídá kříži tvořenému čtyřmi světovými stranami.

Pyramida Louvre v Paříži se skládá z 603 diamantů a 70 trojúhelníků vyrobených z 21 milimetrů tlustého průhledného skla. Délka jedné strany základny je 35 metrů, úhel nakloněné strany je 52 stupňů. Celková hmotnost pyramidy je 180 tun. (Obrázek 2.8)

Mrakodrap Flatiron je jednou z nejznámějších historických památek New Yorku. Ikonická stavba, která stojí dvacet jedna pater, je známá svým trojúhelníkovým tvarem, a proto dostala jméno Flatiron. Tento dům byl jednou z prvních působivých výškových budov postavených na Manhattanu
V roce 2011 byl v čínském Shenzhenu postaven nový sportovní areál, který bude hostit univerziádu. Stadiony připomínají tři mnohostranné svítící koruny ze skleněných trojúhelníků. Na vzniku tohoto rozsáhlého šperkařského díla pracovalo německé studio GMP Architekten.

Mrakodrap Mary Axe v Londýně neboli St Mary Axe Tower, 30 (anglický název 30 St Mary Axe) je 40patrová budova nacházející se v hlavním městě Velké Británie, jejíž konstrukce je vyrobena ve formě síťového pláště s centrální podpůrnou základnu. Budova má 5500 trojúhelníkových oken. Nejvyšší patra mrakodrapu nabízejí nádherné panoramatické výhledy na centrální Londýn.

Projekt s názvem NOAH (New Orleans Arcology Habitat) je odvážným projektem, který je trojúhelníkovou budovou vysokou 365 metrů, jakousi městskou platformou umístěnou na vodě. Neobvyklý tvar budovy v tomto případě nese funkční zátěž, protože trojúhelník je jednou z nejstabilnějších postav a v Orleans, náchylném k hurikánům, je schopnost odolat přírodním živlům prvořadá. Trojúhelník také umožňuje, aby byla budova celá od konce, což rozděluje NOAH na tři samostatné „věže“, které se sbíhají nahoře. Účelem tohoto systému je rozptýlit silný vítr a snížit tak zatížení budovy. Za stejným účelem jsou vnější okraje budovy zakřivené a nakloněné.

Designové studio Parsonson Architects představilo projekt Salamanca House ve svém domovském městě Wellington na Novém Zélandu. Obytný dům o ploše 225 mXNUMX. nachází se v prudkém svahu a má dvě podlaží. S ohledem na malou plochu území přidělenou pro výstavbu architekti maximálně využili každý metr. Ložnice a garáž byly navrženy ve spodní úrovni, což umožnilo umístit obývací pokoj do druhého patra a kombinovat jej s kuchyní a jídelnou.

Trojúhelníky jsou také široce používány při stavbě mostů, konkrétně se používá rovnostranný trojúhelník. Protože se jedná o rovnostranný trojúhelník, který je velmi stabilní a odolný díky své stejné délce stran. Právě tato vlastnost se využívá k vytváření lehkých a stabilních mostů a věží. Rovnostranný trojúhelník nelze rozdrtit. Právě rovnostranný trojúhelník si pod tlakem zachovává svůj tvar.

TROJÚHELNÍK A SYMBOLY

Davidova hvězda je šesticípá hvězda nebo hexagram, skládající se ze dvou rovnostranných trojúhelníků překrývajících se na sobě: symbol židovského národa, znak umístěný na vlajce Státu Izrael. Šesticípé hvězdy najdeme i v symbolice jiných států a lokalit (obrázek 2.9).

Okultní znamení „oko v trojúhelníku“ (nebo „vševidoucí oko“ nebo „zářící delta“) je považováno za symbol Boha. Jeho původ sahá až do starověku. Snad tradice zobrazování božstva tímto způsobem sahá až do starověkého Egypta. V tomto stavu se často používalo náboženské znamení „sokolí oko Horovo“. Trojúhelník byl také od pradávna považován za magické znamení.

TROJÚHELNÍKY V ŽIVOTĚ

Při zahájení hry kulečníku je třeba uspořádat koule ve tvaru trojúhelníku. K tomu použijte speciální trojúhelníkový rám.

Kolečko sýra a koláč se často krájí na kousky trojúhelníkového tvaru. Z trojúhelníků se skládají i dopravní značky. V poslední době jsou do módy chaty a domy ve tvaru trojúhelníku. (Obrázek 2.10).

Pascalův trojúhelník je nekonečná tabulka binomických koeficientů, která má trojúhelníkový tvar. V tomto trojúhelníku jsou jedničky nahoře a po stranách. Každé číslo se rovná součtu dvou čísel nad ním. Čáry trojúhelníku jsou symetrické kolem svislé osy. Pojmenováno po Blaise Pascalovi. Čísla, která tvoří Pascalův trojúhelník, přirozeně vznikají v algebře, kombinatorice, teorii pravděpodobnosti, matematické analýze a teorii čísel.

2.2. Výsledky průzkumu mezi žáky 5. ročníku

Během výzkumu jsem provedla průzkum mezi svými spolužáky. Chcete-li zjistit, zda děti znají historii trojúhelníků. Průzkumu se zúčastnilo 33 studentů z mé třídy.

Výsledky průzkumu jsou prezentovány ve formě diagramu.

ZÁVĚR

Trojúhelník je nejjednodušší plochý obrazec: tři vrcholy a tři strany. Ale od starověku až do současnosti matematici studovali trojúhelník. Během této doby bylo učiněno mnoho důležitých objevů a dokonce vznikla nová věda – trigonometrie.

Na základě toho všeho můžeme usoudit, že trojúhelník je nejdůležitější a nevyčerpatelná postava v geometrii. Ale bohužel většina mých spolužáků nezná historii trojúhelníku.

SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ

1. Catherine Sheldrick-Ross. “Tvary v matematice, fyzice a přírodě.” Moskva “Mann, Ivan a Ferber”, 2018.
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Бермудский треугольник
4. https://videouroki.net/razrabotki/prezentatsiya-po-matematike-i-eto-vse-o-nem-treugolnik.html

Trojúhelník, mnohoúhelník se třemi stranami a třemi vrcholy; obrazec tvořený třemi body, které neleží na stejné čáře, a třemi segmenty, které je spojují. Tyto body A, B, CA, B, CA, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníku a úsečky AB, BC, CA AB, BC, CA AB, BC, CA spojující tyto body jsou strany trojúhelníku. (obr. 1).

Délka libovolné strany trojúhelníku je menší než součet délek jeho dalších dvou stran. Součet délek stran trojúhelníku se nazývá jeho obvod. Někdy z nějakého důvodu. z důvodů je vyčleněna jedna ze stran, která se nazývá základna trojúhelníku; pak další dvě se nazývají boční strany trojúhelníku. V závislosti na poměru délek stran se rozlišují rovnostranné (neboli pravidelné) trojúhelníky (všechny strany jsou stejné) a rovnoramenné trojúhelníky (dvě boční strany jsou stejné).

Tři úhly, každý tvořený dvěma paprsky vycházejícími z vrcholu trojúhelníku a procházejícími dalšími dvěma vrcholy, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180°. Existují ostré trojúhelníky (všechny úhly jsou ostré), tupé trojúhelníky (jeden úhel je tupý) a pravé úhly (jeden úhel je pravý). V pravoúhlém trojúhelníku se dvě strany sousedící s pravým úhlem nazývají nohy a třetí přepona.

Trojúhelník rozděluje rovinu na dvě oblasti – konvexní – vnitřní část trojúhelníku a nekonvexní – vnější část trojúhelníku. Někdy se při definování trojúhelníku započítává i jeho vnitřek.

Trojúhelníky, jejichž strany a úhly jsou stejné, se nazývají stejné (shodné). Ve stejných trojúhelníkech leží stejné úhly protilehlé, respektive stejné strany. Dva trojúhelníky jsou shodné, pokud se tři strany jednoho trojúhelníku rovnají třem stranám druhého trojúhelníku; nebo jestliže se dvě strany a úhel mezi nimi jednoho trojúhelníku rovnají stranám a úhlu mezi nimi jiného trojúhelníku; nebo pokud se boční a sousední úhly jednoho trojúhelníku rovnají bočním a sousedním úhlům jiného trojúhelníku.

Dva trojúhelníky se nazývají podobné, pokud jsou poměry délek odpovídajících stran stejné a úhly mezi proporcionálními stranami jsou také stejné. Dva trojúhelníky jsou podobné, pokud jsou tři strany jednoho trojúhelníku úměrné třem stranám druhého trojúhelníku (se stejným koeficientem úměrnosti); nebo pokud jsou dvě strany jednoho trojúhelníku úměrné dvěma stranám jiného trojúhelníku a úhly mezi těmito stranami jsou stejné; nebo jsou-li dva úhly jednoho trojúhelníku rovny dvěma úhlům jiného.

Úsečka kolmice spadající z vrcholu trojúhelníku na přímku obsahující opačnou stranu, od vrcholu k této přímce, se nazývá nadmořská výška trojúhelníku (délka této kolmice se také nazývá výška trojúhelníku). Tři výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum trojúhelníku. Úsečka přímky spojující vrchol trojúhelníku se středem protější strany se nazývá střed trojúhelníku. Tři mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje mediány v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. Osa vnitřního úhlu trojúhelníku od vrcholu k protější straně se nazývá sečna trojúhelníku. Tři osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice vepsané do trojúhelníku (viz níže). Osa vnitřního úhlu rozděluje stranu protilehlou k úhlu na segmenty úměrné ostatním stranám. Přímka kolmá ke straně trojúhelníku a procházející jeho středem se nazývá odvěsna trojúhelníku. Tři kolmé osy se protínají v jednom bodě, který je středem kružnice opsané (viz níže). Na Obr. 1 znázorňuje segmenty: AO AO AO – osa úhlu ve vrcholu AAA, AM AM AM – medián, AH AH AH – výška, ML ML ML – kolmice.

Úsek spojující středy dvou stran trojúhelníku se nazývá jeho středová čára. Kružnice dotýkající se všech tří stran trojúhelníku se nazývá kružnice vepsaná. Na Obr. Obrázek 2 ukazuje kružnici kkk vepsanou do trojúhelníku ABC ABC A BC, její poloměr je OD = OE = OF OD=OE=OF OD = OE = OF.

Kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníku se nazývá kružnice opsaná. Na Obr. Obrázek 3 ukazuje kružnici KKK, která je popsána kolem trojúhelníku ABC ABC A BC, její poloměr je OA = OB = OC OA=OB=OC OA = OB = OC.

Některá základní spojení mezi prvky trojúhelníku jsou následující. Nechť a, b, ca, b, ca, b, c jsou strany trojúhelníku (a také jejich délky), A, B, CA, B, CA, B, C jsou úhly proti nim. Pro každý trojúhelník platí kosinová věta, tangensová věta a sinusová věta:

S = aha 2 = ab sin ⁡ C 2 = = 2 R 2 sin ⁡ A sin ⁡ B sin ⁡ C = = abc 4 R = pr = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ), S =frac=frac==2R^2sin Asin Bsin C==frac=pr=sqrt, S = 2 aha ​ ​ = 2 ab sin C ​ = = 2 R 2 sin A sin B sin C = = 4 R ab c ​ = pr = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

kde ha h_a ha ​ – výška snížená na stranu aaa (nebo její prodloužení), p = ( a + b + c ) / 2 p= (a+b+c)/2 p = ( a + b + c ) / 2 – půlobvod, rrr – poloměr vepsané kružnice.

Poloměr vepsané kružnice

​ = = ( p − a ) tan 2 A ​ = 4 R sin 2 A ​ sin 2 B ​ sin 2 C ​ = p S ​ . Řešení trojúhelníku zahrnuje hledání neznámých stran a úhlů trojúhelníku z jeho známých stran a úhlů.

Redakce matematických věd

Publikováno 30. května 2022 v 10:28 (GMT+3). Naposledy aktualizováno 16. května 2023 v 22:19 (GMT+3). Kontaktujte redakci