Jak najít délku oblouku kruhové výseče: vzorce s použitím poloměru a středového úhlu
V této publikaci se podíváme na vzorce, které lze použít k výpočtu délky oblouku výseče kruhu, a také rozebereme příklady řešení úloh, abychom demonstrovali jejich aplikaci v praxi.
Obsah skrýt
- Definice oblouku výseče kruhu
- Vzorce pro zjištění délky oblouku sektoru
- Prostřednictvím středového úhlu ve stupních a poloměru
- Prostřednictvím sektorového úhlu v radiánech a poloměru
Definice oblouku výseče kruhu
Oblouk je plocha mezi dvěma body na kružnici.
Obloukový sektor kruhu – jedná se o oblast mezi dvěma body na kružnici, které se získají jako výsledek průsečíku této kružnice se dvěma poloměry, které tvořily sektor kružnice.
Na obrázku níže: AB je oblouk zeleného sektoru kruhu s poloměrem R (nebo r).
- OA = OB = R (r);
- α – sektorový úhel nebo středový úhel.
Vzorce pro zjištění délky oblouku sektoru
Prostřednictvím středového úhlu ve stupních a poloměru
Délka (L) oblouk sektoru se rovná číslu π , vynásobené poloměrem kruhu (r), vynásobený středovým úhlem ve stupních ( α °), děleno 180°.
Poznámka: číslo používané ve výpočtech π , přibližně rovné 3,14.
Prostřednictvím sektorového úhlu v radiánech a poloměru
Délka (L) sektorového oblouku se rovná součinu poloměru (r) a středový úhel vyjádřený v radiánech (arád).
Příklady úkolů
1 úloha
Je dána kružnice o poloměru 15 cm. Najděte délku oblouku sektoru, jehož úhel je 30°.rozhodnutí
Použijme výpočetní vzorec, který používá středový úhel ve stupních:
2 úloha
Délka oblouku sektoru je 24 cm Zjistěte, jaký je jeho úhel (v radiánech a stupních), je-li poloměr kruhu 12 cm.rozhodnutí
Nejprve vypočítejme úhel v radiánech:
1 radián ≈ 57,2958°
Proto je středový úhel přibližně 114,59° (2 rad ⋅ 57,2958°).
Publikace k tématu:
- Nalezení plochy čtverce: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti obdélníku: vzorec a příklad
- Nalezení oblasti lichoběžníku: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti rovnoběžníku: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti elipsy: vzorec a příklad
- Nalezení oblasti konvexního čtyřúhelníku: vzorec a příklad
- Hledání obvodu kosočtverce: vzorec a úlohy
- Nalezení obvodu lichoběžníku: vzorec a problémy
- Hledání obvodu rovnoběžníku: vzorec a úlohy
- Hledání obvodu kruhu: vzorec a úlohy
- Pythagorova věta pro pravoúhlý trojúhelník: vzorec a úlohy
- Goniometrické funkce ostrého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku
- Nalezení objemu kužele: vzorec a problémy
- Zjištění objemu míče: vzorec a problémy
- Nalezení objemu pyramidy: vzorec a úlohy
- Nalezení oblasti pravidelného šestiúhelníku: vzorec a příklady
- Zjištění objemu čtyřstěnu: vzorec a úlohy
- Nalezení objemu hranolu: vzorec a úlohy
- Nalezení plochy povrchu krychle: vzorec a problémy
- Nalezení povrchové plochy válce: vzorec a problémy
- Nalezení povrchové plochy kužele: vzorec a problémy
- Nalezení povrchu koule (koule): vzorec a problémy
- Zjištění poloměru koule: vzorec a příklady
- Zjištění poloměru kružnice: vzorec a příklady
- Zjištění poloměru válce: vzorec a příklady
- Nalezení oblasti pravidelného hranolu: vzorec a problémy
- Nalezení oblasti pravidelné pyramidy: vzorce
- Menelaova věta: formulace a příklad s řešením
- Věta o vnějším úhlu trojúhelníku: formulace a problémy
- Cevův teorém: formulace a příklad s řešením
- Stewartova věta: formulace a příklad s řešením
- Geometrický tvar: trojúhelník
- Značky rovnosti trojúhelníků
- Znaky podobnosti trojúhelníků
- Vlastnosti rovnostranného trojúhelníku: teorie a příklad
- Definice a vlastnosti mediánu trojúhelníku
- Definice a vlastnosti mediánu pravoúhlého trojúhelníku
- Definice a vlastnosti osy úhlu trojúhelníku
- Vlastnosti osy rovnoramenného trojúhelníku
- Vlastnosti osy pravoúhlého trojúhelníku
- Vlastnosti osy rovnostranného trojúhelníku
- Vlastnosti výšky rovnoramenného trojúhelníku
- Vlastnosti výšky pravoúhlého trojúhelníku
- Vlastnosti výšky rovnostranného trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice opsané trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice vepsané do trojúhelníku
- Zjištění poloměru kružnice vepsané do kosočtverce
- Co je to kruh: definice, vlastnosti, vzorce
- Co je to kruh: definice, vlastnosti, vzorce
- Co je obdélník: definice, vlastnosti, vlastnosti, vzorce
V jakékoli oblasti znalostí existují dva přístupy: akademický (teoretický) a aplikovaný (praktický). Geometrie byla vždy na průsečíku těchto trendů. Stavitelé starověkých egyptských pyramid se pokusili určit délku oblouku kruhu a vypočítat plochu kruhu. Podobné úkoly jsou aktuální i dnes a neztratí pro lidstvo význam v žádné době.
Nutnost výpočtů
- stupeň (s odkazem na středový úhel);
- podle Huygensova vzorce (pomocí akordu).
Stanovení metodiky výpočtu v terénu závisí na dostupnosti nástrojů a terénních vlastnostech. Nejprve ale trocha teorie. Oblouk je část kružnice umístěná mezi dvěma libovolnými body, které se na ní nacházejí.
Pro usnadnění zvažte příklad se dvěma body A и B, umístěné na kruhu v krátké vzdálenosti od sebe. Rozdělují ho na 2 části – větší a menší. Každý z nich se nazývá oblouk kruhu.
Míra stupně
Délka oblouku mezi body na kružnici je funkcí středového úhlu tvořeného poloměry kružnice (viz obrázek) přímo úměrně. Na tom je založena míra stupně.
Část kružnice je brána jako 1° oblouku.
Protože L je rovno, pak úhel otočení 180° bude odpovídat délce oblouku.
Pokud je hodnota úhlu 1°, vzorec vypadá takto: .
Proto bude vzorec pro délku kruhového oblouku se středovým úhlem n° vyjádřen takto: .
Určíme hodnotu l pro úhel 120° o poloměru 5 mm: l=3,14*30*5/180=2,62 mm.
Aplikace tětivy a výšky
Existuje metoda pro výpočet délky oblouku podél tětivy a výšky kolmice. Říká se tomu Huygensův vzorec. Tětiva je část přímky umístěná uvnitř kruhu. Tětiva procházející středem se nazývá průměr.
Huygensův vzorec se používá, pokud je středový úhel menší než 60 stupňů. Chcete-li provést výpočty, musíte nejprve spojit body kruhu přímkou. Tohle bude akord. Dále je třeba nakreslit kolmici z jejího středu a od bodu kontaktu kolmice s obloukem nakreslit dvě přímky ke koncům tětivy.
Výsledkem je rovnoramenný trojúhelník, jehož strany budou označeny l a samotná tětiva se bude nazývat L. Pro úhly větší než 60 stupňů by se Huygensův vzorec neměl používat, protože ve výpočtech může dojít k chybě. Čím větší úhel, tím větší bude chyba.
Změřením tětiv L a l můžete získat hodnotu oblouku vyznačenou na obrázku modře. Jestliže L je 30 mm a l je 20 mm, pak P = 2 * 20 + 3,33 = 43,33 mm.
Nyní, když rozumíte metodice výpočtu, můžete použít online kalkulačku. Tento nástroj je dobrý pro kontrolu experimentálně získaného výsledku, zejména při zpracování velkého množství dat, kdy potřebujete rychle získat odpověď.
Online kalkulačka umožňuje uložit získané hodnoty do vyrovnávací paměti počítače. Uspořádat data ve formě libovolné tabulky nebo grafu v souřadnicovém systému není obtížné. Délka oblouku kruhu podle online kalkulačky se vypočítá pomocí kteréhokoli ze dvou vzorců: buď mírou stupňů, nebo tětivou a výškou. Obrazně řečeno, tyto vzorce jsou synonyma, jsou zaměnitelné.
Cvičte s problémy
Je třeba říci pár slov o studiu geometrie ve středních třídách středních škol. Existuje kategorie studentů, pro které jsou vzorce těžko srozumitelné. Takoví studenti potřebují vizuální materiál.
V lekci geometrie, při studiu materiálu o výpočtu parametrů kruhu, můžete provést praktickou lekci. K tomu byste se měli předem připravit: udělat malou kresbu-projekci gymnastického kruhu. Účelem lekce je naučit se používat vzorce v procesu práce. Během hodin:
- Požádejte studenta ve službě, aby si z tělocvičny přinesl gymnastický kruh (hula hoop) malého průměru.
- Označte 3 tečky na vnější straně prstenu fixem nebo barevnou křídou. Poté bude rozdělena do několika sektorů.
- Proveďte projekci prstenu na tabuli s vyznačenými tečkami. Na výkresu označte střed kruhu a nakreslete průměr. Poté je třeba spojit body označené na kruhu poloměry ke středu kruhu a tětivy k sobě.
- Proveďte všechna měření. Získejte hodnoty všech parametrů a zapište je na tabuli. Nejprve je rozdělena na dvě části: uprostřed, přístupné k prohlížení, budou hodnoty středových úhlů AOB a BOC, průměr a délka přímek AB, BC a AC.
- Odpovědi (požadované hodnoty) zapište na pravou stranu tabule a až do konce praktické lekce je zakryjte závěsem.
Dále rozdělte třídu na 4 malé skupiny. Každému z nich je třeba zadat úkol provést výpočty pomocí studovaných vzorců.
- skupina č. 1 vypočítává délku oblouku mezi body A a B pomocí míry středového úhlu AOB;
- druhá skupina dostane podobný úkol pro úsek mezi body B a C;
- třetí skupina vypočítá požadovaný parametr mezi body A a C pomocí délky tětivy AC a pomocných čar AB a BC;
- Skupina č. 4 pracuje s body A a C pomocí hodnot úhlu AOC.
Na splnění úkolu máte 12 minut. Po uplynutí času vyjde student z každé ze čtyř skupin, vysvětlí vzorec a zapíše výsledek na tabuli. Tyto odpovědi jsou porovnány s hotovými měřeními zapsanými dříve na pravé straně tabule.
Dalších 7 minut lekce je věnováno diskusi o dosaženém výsledku a analýze výskytu chyby.
Zkomplikování vzorce
Skupina pokročilých studentů dostane úkol „Jak změnit vzorec stupně?“ Je možné zjistit hodnotu poloměru pomocí jiných geometrických výrazů, například ho považovat za polovinu průměru kruhu? V tomto případě bude vzorec vypadat takto: r=1/2d, pak l= πd/360*n.
Pokud použijete vzorec pro výpočet plochy kruhu a vyjádříte jím poloměr, můžete získat s=πr 2.
Bude zajímavé uvést poloměr – ve formě derivace odmocniny. Není těžké odvodit vzorec, bude to vynikající duševní gymnastika pro studenty.
Základním cílem výuky matematiky je rozvoj analytického myšlení studentů, čehož je dosahováno prostřednictvím diskuse a porovnávání různých výpočtových metod. Jako doplňkový úkol můžete žáky požádat, aby vypočítali hodnotu zakřivené čáry vnějšího okraje školního záhonu. Pak byste je měli požádat, aby své výpočty zdůvodnili.
Využití názorných pomůcek pomůže studentům seznámit se se vzorci, nahlédnout roli geometrie v každodenním praktickém životě a usnadní osvojování konkrétní látky.
