Definice průměrného výnosu – Studopedia

V praxi finančních kalkulací je často potřeba počítat průměrná ziskovost soubor (portfolio) investic za určité období nebo průměrná návratnost investice za několik časových období (například 3 čtvrtletí nebo 5 let). V prvním případě se použije vzorec vážený aritmetický průměr, ve kterém jsou jako váhy použity částky investic každého typu. Vraťme se k příkladu z předchozího odstavce s investicí 1000 rublů do dvou typů činností: obchodní a finanční. Dá se říci, že vlastník těchto peněz vytvořil investiční portfolio sestávající ze dvou nástrojů – investice do vlastního kapitálu obchodu a finanční (spekulativní) investice. Výše každé investice byla 500 rublů. Návratnost prvního investičního směru byla 10 %, druhého 40 % ročně. Použitím vzorce aritmetického průměru (v tomto případě lze kvůli rovnosti vah použít jednoduchý aritmetický průměr) získáme průměrnou návratnost investice za rok rovný 25 % ((10 + 40) / 2). Přesně odpovídá celkovému výnosu z „portfolia“ vypočítanému v předchozím odstavci. Pokud by vlastník změnil strukturu svých investic a investoval pouze 300 rublů (30 %) do obchodování a 700 rublů (70 %) do finančních spekulací, pak by při konstantní úrovni ziskovosti v každé oblasti byla průměrná ziskovost jeho „portfolia“ být 31 % (10 x 0,3 + 40 x 0,7). Obecný vzorec pro výpočet průměrného výnosu z investičního portfolia lze proto představit takto:

n – počet druhů finančních nástrojů v portfoliu;

r_i – ziskovost i nástroj;

w_i – podíl (podíl) na nákladech i – nástroj v celkové hodnotě portfolia na začátku období.

Skutečná doba kapitálové investice může mít libovolnou hodnotu – od jednoho dne až po mnoho let. Aby byla zajištěna srovnatelnost ukazatelů rentability pro investice s různou délkou trvání, jsou tyto ukazatele převedeny na jedinou časovou základnu – rok (anulován). Technika výnosové anuity byla diskutována v předchozím odstavci. Roční výnos stejné investice však nemusí být stejný v různých časových obdobích. Například návratnost vlastnictví finančního nástroje (vzhledem k nárůstu jeho tržní ceny) dosáhla za rok 12 %. Během druhého roku se cena zvýšila o dalších 15% a během třetího – o 10%. Nabízí se otázka: jaký je průměrný roční výnos z vlastnictví nástroje za 3 roky? Vzhledem k tomu, že roční výnos je úroková sazba, průměrný výnos za dané období se vypočítá pomocí vzorců průměrné úrokové sazby. V závislosti na typu úrokové sazby (jednoduché nebo komplexní) lze její průměrnou hodnotu určit jako aritmetický průměr vážený délkou období, během kterých zůstala nezměněna, nebo jako geometrický průměr, vážené stejným způsobem (viz § 2.2).

V zásadě je možné použít obě metody pro stanovení průměrné návratnosti za více období. Například aritmetický průměr výnosu výše uvedeného nástroje bude 12,33 % ((12 + 15 + 10) / 3) za tři roky. V tomto případě se nezměnila délka období, během kterých ziskovost zůstala nezměněna (rok), proto se použije jednoduchý průměrný vzorec. Použitím vzorce geometrického průměru získáme r_ženatý = 12,315 % (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1)) 1/3 -1). S mírným rozdílem ve výsledcích je technika výpočtu aritmetického středního výnosu mnohem jednodušší než geometrického středního výnosu, takže se často používá jednodušší metoda výpočtu.

Je to však povoleno podstatná metodologická chyba: řetězová povaha změn ziskovosti mezi jednotlivými obdobími je ignorována. Výnos 12 % byl vypočítán na základě objemu investic na začátku prvního roku a výnos 15 % byl vypočítán na základě jejich hodnoty na začátku dalšího roku. Tyto hodnoty se navzájem nerovnají, protože během prvního roku investice zdražila o 12 %. Ve druhém roce zdražily o dalších 15 %, tedy jejich objem na začátku třetího roku se také lišil od dvou předchozích částek. Použitím vzorce aritmetického průměru se mlčky předpokládá, že objem investic zůstal ve všech obdobích nezměněn, to znamená, že se v podstatě vypočítá průměrná základní míra růstu. V tomto případě je tento předpoklad zcela nesprávný, takže průměrná rychlost růstu řetězce by měla být vypočtena pomocí vzorce geometrického průměru, protože počáteční investice se mění z období na období. Uveďme výchozí data příkladu ve formě tabulky (tab. 5.2.1).

Tabulka 5.2.1 Dynamika návratnosti akcií za 3 roky, rub.

Tabulka ukazuje, že 10% návratnost za třetí rok, v absolutních hodnotách příjmů (12,88 rublů), je „dražší“ než 12 % za první rok (12 rublů). Jednoduché aritmetické průměrování heterogenních veličin je v zásadě zbytečné cvičení, i když někdy dává výsledky blízko správným. Výnos aritmetického průměru je vždy vyšší než geometrický průměr a tento rozdíl se zvyšuje s rostoucím rozptylem počátečních ukazatelů.

Nevhodnost použití aritmetického průměru se projeví zvláště tehdy, když spolu s kladnými hodnotami vznikají i záporné hodnoty výnosu. Předpokládejme, že během prvního roku se cena akcií zdvojnásobila, ale do konce druhého roku se vrátila na původní hodnotu (100 rublů). Zapišme příslušné údaje do tabulky (tab. 5.2.2).

Tabulka 5.2.2 Dynamika návratnosti akcií za 2 roky, rub.

Pomocí vzorce aritmetického průměru zjistíme, že průměrný roční výnos za celé období byl 25 % ((100 – 50) / 2). Je zřejmé, že jde o absolutně nesprávný výsledek, protože bohatství vlastníka akcií se vůbec nezměnilo a na konci druhého roku činilo stejných 100 rublů jako na začátku prvního roku. Celkový výnos za dobu držení byl 0 % ((100 – 100) / 100). Stejný výsledek získáme použitím vzorce geometrického průměru návratnosti: ((1 + 1) * (1 – 0,5)) 1/2 – 1 = 0 %.

Důvod takové hrubé chyby nespočívá v původní „zlomyslnosti“ aritmetického průměru, ale v tom, že v tomto případě byl použit pro jiné účely. Pro výpočet výnosu za každý jednotlivý rok byla jako hodnota počáteční investice brána nová částka včetně reinvestovaného výnosu obdrženého v předchozích letech. Standardně byla pro výpočet ziskovosti použita složená úroková sazba, proto měla být průměrná ziskovost za dobu držení vypočtena pomocí vzorce geometrického průměru. Tento přístup je ve finanční teorii obecně přijímán a používá se vždy pro transakce, jejichž doba trvání přesahuje 1 rok. V případě krátkodobých transakcí (do 1 roku) je však povoleno použít jednoduchou úrokovou sazbu, jejíž průměrná hodnota se vypočítá pomocí vzorce aritmetického průměru. V tomto případě by se návratnost za každé období měla vypočítat vydělením výše obdrženého příjmu stejnou částkou – investicí do daného finančního nástroje uskutečněnou na začátku prvního období.

Předpokládejme, že doba držení akcie nebyla 2 roky, ale 2 měsíce. Po zdvojnásobení jeho hodnoty do 1 měsíce se investor rozhodl držet jej déle v naději na další růst sazby. Další měsíc však cena akcií prudce klesla a vrátila se na původní hodnotu – 100 rublů. Majitel se rozhodl již dál nepokoušet osud a na konci druhého měsíce akcie za tuto cenu prodal. Výnos z akcie, vypočtený jednoduchou úrokovou sazbou (K = 360 dní), bude: za první měsíc 1200 % ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); za druhý měsíc -1200 % (záporná hodnota) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Aritmetický průměr výnosu se tedy bude rovnat 0 ((1200 – 1200) / 2).

Můžeme dojít k závěru, že je lepší vypočítat průměrnou návratnost za několik časových období pomocí vzorce geometrického průměru. Výpočet aritmetického průměru výnosu je opodstatněný pouze v případech, kdy výnos za každé období zvlášť je počítán jako jednoduchá úroková sazba. To je povoleno při analýze krátkodobých finančních transakcí.

Výnosy se nemusí každý rok měnit. Stejnou úroveň ziskovosti lze pozorovat po řadu let. V tomto případě se pro výpočet průměrného ročního výnosu použije vzorec geometrického váženého průměru. Jako váhy se používají délky období, během kterých byla pozorována stejná úroveň ziskovosti. Například 1 milion rublů byl investován do vlastního kapitálu podniku. Čistý zisk za první rok činil 200 tisíc rublů, za druhý – 120 tisíc rublů, ve třetím roce bylo přijato 264 tisíc rublů čistého zisku. Každý rok bylo 100 % čistého zisku reinvestováno. Vypočítejme průměrnou roční návratnost kapitálové investice za celé období (tab. 5.2.3). Jak je vidět z tabulky, ziskovost za první a třetí rok byla 20 % ročně. Pro výpočet průměrné návratnosti za tři roky by se proto měl použít vážený geometrický průměr. Pro 10% výtěžek bude váha rovna 1 a pro 20% výtěžek – 2. Dosazením těchto hodnot do vzorce (2.2.4) získáme:

Tato investice tak svému majiteli přinesla v průměru 16,57 % ročně. Kapitál podniku na konci třetího roku činil 1 milion 584 tisíc rublů (1320 + 264). Ekvivalentního výsledku lze dosáhnout umístěním 1 milionu rublů na bankovní vklad s efektivní roční sazbou 16,57 % (1000000 1 0,1657 * (3 + 1584000) XNUMX = XNUMX XNUMX XNUMX).

Použitím vzorce váženého aritmetického průměru dostaneme:

Tabulka 5.2.3 Změna vlastního kapitálu, tisíce rublů.

V tomto případě nelze říci, že ekvivalentní výsledek (1 milion 584 tisíc rublů) by bylo možné získat umístěním 1 milionu rublů na tříletý vklad s jednoduchou úrokovou sazbou 16,67%. Časové rozlišení jednoduchého úroku touto sazbou dá pouze 1 milion 500 tisíc 100 rublů za 3 roky. To slouží jako další důkaz o nesprávnosti použití aritmetického průměru v takových výpočtech.

Tabulka 5.2.4 Harmonogram výplat dividend, tisíc rublů.

Ve všech výše uvedených příkladech byl uvažován pouze jeden druh příjmu – kapitálové zisky. Při určování ziskovosti za jedno období (například rok) tato skutečnost nehraje významnou roli, protože kapitálové zisky i běžné příjmy jsou pro investora naprosto ekvivalentní a oba rovnoměrně zvyšují jeho bohatství. Při výpočtu průměrného výnosu za více let je však nutné zohlednit rozdíly mezi těmito druhy příjmů. Obdržením běžného příjmu ponechává investor výši počáteční investice nezměněnou. Předpokládejme, že veškerý čistý zisk uvedený v tabulce 5.2.3 byl každoročně vybrán vlastníkem kapitálu ve formě dividend (tabulka 5.2.4). V tomto případě zůstala výše investovaného kapitálu na začátku každého roku nezměněna – 1 milion rublů. Geometrický průměrný výnos za tři roky bude 19,32 % ((1 + 0,2) * (1 + 0,12) * (1 + 0,264)) 1/3 – 1); aritmetický průměr výnosu se bude rovnat 19,47 % ((20 + 12 + 26,4) / 3).

Pro analýzu investic, které přinášejí oba typy příjmů (běžný i nárůst hodnoty), se rozšířilo použití dalšího ukazatele průměrná ziskovost za několik období. Tuto roli hraje výše zmíněná vnitřní míra návratnosti (irr). Tento ukazatel zohledňuje veškeré běžné příjmy během investičního období a kapitálové zisky na konci tohoto období. Je nepostradatelný při provádění prognostických výpočtů návratných investic (dlouhodobé půjčky, emise dluhopisů apod.), neboť umožňuje určit plnou návratnost investice resp. výnos do splatnosti (výnos do splatnosti – YTM). Stejně jako vnitřní míra návratnosti je výnos do splatnosti průměrná efektivní úroková míra, diskontovaná, při níž se současná hodnota celkového příjmu rovná výši počáteční investice:

P – výše počáteční investice;

CF – tok ročních běžných příjmů z investic;

N – jednorázová platba investorovi na konci období, na které byl kapitál investován (například vrácení jistiny úvěru);

n – celková doba kapitálové investice.

Jako průměrná úroková sazba se YTM může svou hodnotou lišit jak od aritmetického průměru, tak od geometrického průměru výnosu, i když se často blíží druhému. Například investice sto tisíc rublů po dobu 3 let zaručuje investorovi roční běžný příjem ve výši 10 tisíc rublů (na konci každého roku) a návratnost celé investované částky na konci roku třetím rokem. Odpovídající peněžní tok lze prezentovat následovně (tabulka 5.2.5).

Tabulka 5.2.5 Peněžní toky z investic, tisíce rublů.

Samozřejmě. že aritmetický průměr i geometrický průměr budou mít stejnou hodnotu – 10 %. Pomocí údajů z gr. 5 stolů 5.2.5 a finanční funkce VNDOH elektronického tabulkového procesoru MS Excel získáme vnitřní návratnost toku rovnající se rovněž 10 %. Pojďme mírně změnit strukturu očekávaného peněžního toku – v prvním roce bude aktuální příjem 0, ale ve druhém roce bude přijato 20 tisíc rublů. Výtěžek aritmetického průměru zůstane nezměněn (10 %), geometrický průměr se sníží na 9,7 % (((1 + 0) * (1 + 0,2) * (1 + 0,1)) 1/3 – 1) a vnitřní míra návratnosti bude 9,68 %. To se vysvětluje pozdějším příjmem – současná hodnota dalších 10 XNUMX rublů obdržených ve druhém roce je nižší než hodnota stejné částky zaplacené o rok dříve.

Předpokládejme, že počáteční investice není 100, ale pouze 95 tisíc rublů a běžné příjmy jsou rovnoměrně 10 tisíc rublů ročně (tabulka 5.2.6).

Tabulka 5.2.6 Peněžní toky z investic, tisíce rublů.

Aritmetický průměr výnosu bude 12,28 % ((10,53 * 2 + 15,79) / 3); geometrický průměr – 12,25 % (((1 + 0,1053) 2 * (1 + 0,1579)) 1/3 – 1). Zvýší se i výnos do splatnosti a bude činit 12,09 %.

Technické potíže při výpočtu IRR vedly k vývoji zjednodušené metody pro přibližný odhad výnosu do splatnosti. Pro tyto účely se používá následující vzorec:

Symboly jsou stejné jako ve vzorci (5.2.2). Aplikuje se na data z tabulky. 5.2.6, dostaneme:

Odchylka od přesné hodnoty YTM byla 0,12 procentního bodu (12,09 – 11,97). Při vyšších úrovních ziskovosti a delších investičních obdobích se přesnost výpočtů pomocí tohoto vzorce výrazně zhoršuje. Pokud tedy předpokládáme, že počáteční investice nebyla 95, ale 80 tisíc rublů, roční běžný příjem je 30, a ne 10 tisíc rublů, a dorazí do pěti, nikoli tří let, pak přibližná hodnota YTM podle vzorec (5.2.3) bude 42,35 %, přičemž jeho přesná hodnota je 46,34 % (více o 3,99 procentního bodu). Je zvláštní, že hodnota geometrického průměru výnosu v tomto případě bude 50,55 %, tedy překročí YTM o 4,21 procentních bodů (50,55 – 46,34). Jinými slovy, výpočet pomocí navrženého vzorce nedává mnohem přesnější výsledek než výpočet geometrického průměrného výnosu.

Na závěr je třeba poznamenat, že žádný z výše diskutovaných ukazatelů průměrné návratnosti (aritmetický, geometrický a ytm) není nejvíce „přesný“ nebo „správný“. Každý z nich má jasně definovaný rozsah jeho použití. Aritmetický průměr je nezbytný při výpočtu průměrného výnosu investičního portfolia za stejné období. Geometrický průměr je nástroj analýzy časových řad, takže by se měl používat k nalezení průměrné návratnosti za několik sousedních období. Takové problémy vznikají zpravidla při retrospektivní analýze již uskutečněných transakcí, o kterých jsou známy pouze hodnoty jejich ziskovosti za jednotlivá období. Potřeba kalkulace YTM se objevuje při plánování finančních transakcí, u kterých se spolu s běžnými příjmy očekává nárůst hodnoty investovaného kapitálu. Celá výše tohoto navýšení se vztahuje k nejextrémnějšímu datu – době návratnosti počáteční investice – odtud název ukazatele „výnos do splatnosti“.

Líbil se vám článek? Přidejte si ji do záložek (CTRL+D) a nezapomeňte ji sdílet se svými přáteli:

Průměrný výnos je jednoduchý matematický průměr řady výnosů za dané časové období. Průměrný výnos se vypočítává stejným způsobem, jako se vypočítává jednoduchý průměr pro jakoukoli množinu čísel. Čísla se sečtou a vytvoří součet, který se poté vydělí počtem čísel v množině.

Pochopení průměrného výnosu

Existuje několik mír návratnosti a způsobů, jak ji vypočítat. Pro průměrnou aritmetickou návratnost vezměte součet návratnosti a vydělte jej počtem číslic návratnosti.

Průměrný výnos = Součet výnosů Počet výnosů < /mfrac>text = dfrac>> Průměrný příjem = Počet výnosů Součet výnosů

Průměrný výnos říká investorovi nebo analytikovi, jaká byla minulá výkonnost akcie nebo cenného papíru, nebo jaká je výkonnost portfolia společností. Průměrný výnos není totéž co roční výnos, protože ignoruje složené navyšování.

Příklad průměrného výnosu

Jedním z příkladů průměrného výnosu je jednoduchý aritmetický průměr. Předpokládejme například, že investice vynáší roční výnosy 10 %, 15 %, 10 %, 0 % a 5 % po dobu pěti celých let. Pro výpočet průměrného výnosu investice za toto pětileté období se pět ročních výnosů sečte a poté vydělí 5. To dává průměrný roční výnos 8 %.

Nyní se podívejme na příklad z reálného života. Akcie Walmartu v roce 9,1 vzrostly o 2014 %, v roce 28,6 ztratily 2015 %, v roce 12,8 získaly 2016 %, v roce 42,9 získaly 2017 % a v roce 5,7 ztratily 2018 %. Průměrný výnos Walmartu za těchto pět let je 6,1 %, neboli 30,5 % děleno 5 lety.

Výpočet návratnosti růstu

Jednoduchá míra růstu je funkcí počáteční a konečné hodnoty neboli zůstatku. Vypočítá se odečtením konečné hodnoty od počáteční hodnoty a následným vydělením počáteční hodnotou. Vzorec je:

Například pokud investujete 10 000 dolarů do společnosti a cena akcií se zvýší z 50 dolarů na 100 dolarů, lze výnos vypočítat tak, že se rozdíl mezi 100 a 50 dolary vydělí 50 dolary. Výsledek je 100 %, což znamená, že nyní máte 20 000 dolarů.

Jednoduchý průměrný výnos je jednoduchý výpočet, ale není příliš přesný. Analytici a investoři také často používají geometrický průměr neboli váženou míru výnosu k přesnějšímu výpočtu výnosů.

Alternativy k průměrnému výnosu

Geometrický průměr

Při pohledu na průměrné historické výnosy je geometrický průměr přesnějším výpočtem. Geometrický průměr je vždy nižší než průměrný výnos. Jednou z výhod použití geometrického průměru je, že nemusíte znát skutečnou výši investic. Výpočet se zaměřuje výhradně na samotné výnosy a je porovnáním výsledků dvou nebo více investic v velmi rozdílných časových obdobích.

Míra návratnosti se někdy nazývá časově vážená míra návratnosti (TWR), protože odstraňuje zkreslující vliv na tempo růstu, který vzniká v důsledku různých přílivů a odlivů peněz na účet v průběhu času.

Peněžně vážená míra návratnosti (MWRR)

Alternativně, peněžně vážená míra návratnosti (MWRR) zahrnuje velikost a načasování peněžních toků, což z ní činí efektivní měřítko návratnosti portfolia, které přijalo vklady, reinvestovalo dividendy a/nebo úrokové platby nebo uskutečnilo výběry.

MWRR je ekvivalentem vnitřní míry návratnosti (IRR), kde je čistá současná hodnota nulová.

Vlastnosti

• Průměrný výnos je jednoduchý matematický průměr řady výnosů získaných za dané časové období.
• Průměrný výnos není totéž co roční výnos, protože nezohledňuje složený úrok.
• Průměrný výnos může pomoci měřit minulou výkonnost cenného papíru nebo portfolia.
• Geometrický průměr je vždy nižší než průměrný výnos.